Makalah Matematika | Elips

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah yang maha mengetahui dan maha bijaksana yang telah memberikan petunjuk menuju agama yang lurus kepada hambanya dan menyariatkan berbagai hukum bagi mereka. Salawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada Rasulullah saw.yang membimbing umatnya dengan suri tauladan yang sangat baik.

Makalah ini kami buat sesuai dengan anjuran guru matematika untuk membuat tugas matematika tentang elips

Melalui makalah ini kami menyampaikan terima kasih kepada guru pembimbing matematika yang telah memberikan kami tugas membuat makalah ini. Karena dengan makalah ini kami mengerti lebih dalam tentang elips.

Mudah-mudahan makalah ini dapat membantu teman-teman memahami apa yang kami bahas dalam makalah ini dan lebiih memiliki rasa bersyukur kepada Allah swt atas apa yang telah Allah berikan kepada kita.

Kami pun menyadari bahwa karya tulis kami jauh dari kesempurnaan maka dari itu kami meminta kritik, saran maupun pendapat dari teman – teman dan guru pembimbing yang sifatnya membangun agar karya tulis kami bisa lebih baik dalam kedepannya.

(penulis)

DAFTAR ISI

                                                                                                                                       Halaman

HALAMAN JUDUL....................................................................................       1

KATA PENGANTAR..................................................................................       2

DAFTAR ISI.................................................................................................       3

BAB I PENDAHULUAN............................................................................       4

1.      Latar Belakang..................................................................................       4

2.      Tujuan...............................................................................................       4

3.      Rumusan Masalah............................................................................       4

BAB II PEMBAHASAN..............................................................................       5

BAB III PENUTUP......................................................................................       7

BAB I

PENDAHULUAN

1.       LATAR BELAKANG

Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut mayor, dengan titik – titik ujung sumbu mayor disebut titik – titik puncak  elips.

Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi dua bagian yang sama disebut sumbu minor Untuk menentukan persamaan elips dalam bentuk P dan q, kita dapat mengkombinasikan definisi elips yang baru saja diberikan dengan rumus jarak.

2.       TUJUAN

-          Untuk mengetahui apa itu yang dimaksud elips, definisi elips contoh soal tentang elips

-          Memenuhi tugas yang diberikan oleh guru mata pelajaran matematika

3.       RUMUSAN MASALAH

-          Apa itu yang dimaksud dengan elips?

-          Contoh soal tentang elips

-          Definisi elips

-          Bentuk standard dari elips

BAB II

PEMBAHASAN

Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut mayor, dengan titik – titik ujung sumbu mayor disebut titik – titik puncak  elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi dua bagian yang sama disebut sumbu minor

§  Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu- x) dengan panjang 2p  dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q

§  Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu- y) dengan panjang 2q dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p

Dari pengamatan kita diatas, kita dapat menarik kesimpulan mengenai persamaan elips sebagai berikut

Bentuk standar dari persamaan elips

Jika p ≠ q persamaan tersebut merepresentasikan grafik dari suatu elips dengen titik pusat (a,b) nilai │p│ merupakan jarak horizonal titik pusat dengan grafik, sedangkan │q│ merupakan jarak vertikal titik pusat dengan grafik.

Definisi  dari suatu elips

Diberikan dua titik tertentu f₁ dan f₂ pada suatu bidang, elips adalah himpunan semua titik (x,y) yang jaraknya terhadap titik f₁ ditambah jaraknya terhadap titik f₂ selalu konstan d₁ + d₂ = k dua titik f₁ dan f₂ disebut sebagai fokus dari suatu elips, dan titik – titik P(x,y) adalah titik – titik

Berikut ini ilustrasi jumlah dari jarak titik – titik fokus dengan titik pada elips yang sama dengan konstanta.

Untuk menentukan persamaan elips dalam bentuk P dan q, kita dapat mengkombinasikan definisi elips yang baru saja diberikan dengan rumus jarak. Perhatikan elips dibawah ini, untuk memudahkan penghitungan kita gunakan elips yang berpusat dititik (0,0)

Perhatikan bahwa titik -  titik puncaknya memiliki koordinat di (-p,0) dan (p,0) dan titik – titik ujung dari sumbu minornya di (0,-q) dan (0,q). Misalkan koordinat titik – titik fokusnya ada di (-f,0) dan (f,0)maka kita dapat menentukan jarak titik (f,0) dan sembarang titik P(x,y) ada elips dengan mengunakan rumus jarak

Dengan cara yang sama, jarak titik (-f,0) dengan sembarang titik (x,y) adalah

 berdasarkan definisi, jumlah kedua jarak tersebut haruslah konstan :

Contoh 1

Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor  10 satuan.

Jawab :

Fokus di F₁ (-4,0) dan F₂ (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )

Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5

Persamaan elipsnya :

Jadi persamaan elipsnya adalah 

BAB III

PENUTUP

1.       KESIMPULAN

Diberikan dua titik tertentu f₁ dan f₂ pada suatu bidang, elips adalah himpunan semua titik (x,y) yang jaraknya terhadap titik f₁ ditambah jaraknya terhadap titik f₂ selalu konstan d₁ + d₂ = k dua titik f₁ dan f₂ disebut sebagai fokus dari suatu elips, dan titik – titik P(x,y) adalah titik – titik

Misalkan koordinat titik – titik fokusnya ada di (-f,0) dan (f,0)maka kita dapat menentukan jarak titik (f,0) dan sembarang titik P(x,y) ada elips dengan mengunakan rumus jarak

Dengan cara yang sama, jarak titik (-f,0) dengan sembarang titik (x,y) adalah

 berdasarkan definisi, jumlah kedua jarak tersebut haruslah konstan :

Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi dua bagian yang sama disebut sumbu minor

§  Jika p > q, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu- x) dengan panjang 2p  dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2q

§  Jika p < q, sumbu mayornya vertikal (sejajar dengan sumbu- y) dengan panjang 2q dan sumbu minornya horizontal dengan panjang 2p